Numerik Präsentation

import numpy as np
import pandas as pd

# Funktion t(x): beschreibt die halbe Dicke des Flügelprofils
def t(x):
    return 0.15 * (3.8 * np.sqrt(x) - 3.2 * x - 0.3 * x**4)

# Erste Ableitung t'(x): notwendig für das Newton-Verfahren
def dt(x):
    return 0.15 * (3.8 / (2 * np.sqrt(x)) - 3.2 - 1.2 * x**3)

# Startwert für das Newton-Verfahren
x0 = 1.1

# Abbruchkriterium (Toleranz)
tol = 1e-6

# Maximale Anzahl an Iterationen
max_iter = 20

# Liste zur Speicherung der Iterationsergebnisse
data = []

# Newton-Verfahren zur Bestimmung der Nullstelle von t(x)
for i in range(max_iter):
    f_val = t(x0)          # Funktionswert an der aktuellen Stelle
    df_val = dt(x0)        # Ableitungswert an der aktuellen Stelle
    x1 = x0 - f_val / df_val  # Newton-Schritt
    dx = abs(x1 - x0)      # Änderung zum vorherigen Wert
    data.append([i, round(x0, 6), round(f_val, 6), f"{dx:.2e}"])
    if dx < tol:           # Abbruchbedingung erfüllt?
        break
    x0 = x1                # Nächste Iteration

# Ergebnis auf 6 Nachkommastellen runden
x_result = round(x1, 6)
t_result = round(t(x_result), 6)

# Ergebnisse als DataFrame formatieren
df_result = pd.DataFrame(data, columns=["Iter", "x_n", "t(x_n)", "Δx"])

import numpy as np
import pandas as pd

# Funktionen definieren (Originalfunktion t(x) und deren Ableitung t'(x))
def dt(x):
    # Erste Ableitung von t(x), notwendig zur Bestimmung von Extrempunkten
    return 0.15 * (3.8 / (2 * np.sqrt(x)) - 3.2 - 1.2 * x**3)

def t(x):
    # Originalfunktion: beschreibt die halbe Dicke des Flügelprofils
    return 0.15 * (3.8 * np.sqrt(x) - 3.2 * x - 0.3 * x**4)

# Anfangsintervall für die Bisektion
a, b = 0.001, 1.108

# Abbruchkriterien
tol = 1e-6
max_iter = 50

# Liste zur Speicherung der Iterationsschritte
data_bisektion = []

# Bisection-Verfahren zur Nullstellenbestimmung von dt(x)
for i in range(max_iter):
    xm = (a + b) / 2          # Mittelpunkt des aktuellen Intervalls
    fa = dt(a)                # Funktionswert am linken Rand
    fxm = dt(xm)              # Funktionswert am Mittelpunkt

    # Iterationsdaten speichern: Iteration, Intervallgrenzen, xm, f(xm), Intervallbreite
    data_bisektion.append([
        i,
        round(a, 6),
        round(b, 6),
        round(xm, 6),
        round(fxm, 6),
        f"{abs(b - a):.2e}"
    ])

    # Abbruchbedingung prüfen
    if abs(fxm) < tol or abs(b - a) < tol:
        break

    # Intervallhalbierung basierend auf Vorzeichenwechsel
    if fa * fxm < 0:
        b = xm
    else:
        a = xm